Paralelogram proti trapezu
Paralelogram in trapez (ali trapez) sta dva konveksna štirikotnika. Čeprav gre za štirikotnike, se geometrija trapeza bistveno razlikuje od paralelogramov.
Paralelogram
Paralelogram lahko definiramo kot geometrijsko sliko s štirimi stranicami, ki imajo nasprotne stranice, ki so vzporedne. Natančneje gre za štirikotnik z dvema paroma vzporednih stranic. Ta vzporedna narava daje paralelogramom veliko geometrijskih značilnosti.
Štirikotnik je paralelogram, če najdemo naslednje geometrijske značilnosti.
• Dva para nasprotnih stranic sta enaka dolžini. (AB = DC, AD = BC)
• Dva para nasprotnih kotov sta enaka po velikosti. (
)
• Če so sosednji koti dopolnilni
• Par stranic, ki si nasprotujeta, je vzporeden in dolg. (AB = DC in AB∥DC)
• Diagonali se razpolovita (AO = OC, BO = OD)
• Vsaka diagonala deli štirikotnik na dva skladna trikotnika. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonal. To se včasih imenuje paralelogramski zakon in ima široko uporabo v fiziki in tehniki. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Vsako od zgornjih značilnosti lahko uporabimo kot lastnosti, ko ugotovimo, da je štirikotnik paralelogram.
Ploščino paralelograma lahko izračunamo z zmnožkom dolžine ene strani in višine do nasprotne strani. Zato lahko območje paralelograma navedemo kot
Površina paralelograma = osnova × višina = AB × h
Območje paralelograma je neodvisno od oblike posameznega paralelograma. Odvisna je le od dolžine osnove in pravokotne višine.
Če lahko stranice paralelograma predstavimo z dvema vektorjema, lahko površino dobimo z velikostjo vektorskega proizvoda (navzkrižni zmnožek) obeh sosednjih vektorjev.
Če sta strani AB in AD predstavljeni z vektorjema (
) oziroma (
), je površina paralelograma podana z
kjer je α kot med
in
Sledi nekaj naprednih lastnosti paralelograma;
• Površina paralelograma je dvakrat večja od površine trikotnika, ki ga ustvari katera od njegovih diagonal.
• Območje paralelograma deli na polovico katera koli črta, ki gre skozi središčnico.
• Vsaka nedegenerirana afina transformacija vodi paralelogram v drug paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsko simetrijo reda 2
• Vsota razdalj od katere koli notranje točke paralelograma do stranic je neodvisna od lokacije točke
Trapezoid
Trapezoid (ali Trapezium v britanski angleščini) je izbočen štirikotnik, pri katerem sta vsaj dve strani vzporedni in neenakomerno dolgi. Vzporedne stranice trapeza so znane kot osnove, drugi dve strani pa se imenujejo kraki.
Sledijo glavne značilnosti trapezoidov;
• Če sosednji koti niso na isti podlagi trapeza, so to dodatni koti. tj. seštejejo do 180 ° (
)
• Obe diagonali trapeza se sekata v enakem razmerju (razmerje med odsekom diagonal je enako).
• Če sta a in b osnovi, c, d pa kraki, so dolžine diagonal podane z
in
Površina trapeza lahko izračunamo po naslednji formuli
Območje trapeza =
Kakšna je razlika med paralelogramom in trapezoidom (trapezij)?
• Tako paralelogram kot trapezoid sta konveksna štirikotnika.
• V paralelogramu sta oba para nasprotnih stranic vzporedna, medtem ko je v trapezu vzporeden le par.
• Diagonale paralelograma se razpolovijo (razmerje 1: 1), medtem ko se diagonale trapeza sekajo s konstantnim razmerjem med odsekoma.
• Površina paralelograma je odvisna od višine in osnove, medtem ko je površina trapeza odvisna od višine in srednjega segmenta.
• Dva trikotnika, tvorjena z diagonalo v paralelogramu, sta vedno skladna, medtem ko sta trikotnika trapeza lahko skladna ali ne.
