Paralelogram vs pravokotnik
Paralelogram in pravokotnik sta štirikotnika. Geometrija teh figur je bila človeku znana že tisoče let. Predmet je izrecno obravnavan v knjigi "Elementi", ki jo je napisal grški matematik Euclid.
Paralelogram
Paralelogram lahko definiramo kot geometrijsko sliko s štirimi stranicami, ki imajo nasprotne stranice, ki so vzporedne. Natančneje gre za štirikotnik z dvema paroma vzporednih stranic. Ta vzporedna narava daje paralelogramom veliko geometrijskih značilnosti.
Štirikotnik je paralelogram, če najdemo naslednje geometrijske značilnosti.
• Dva para nasprotnih stranic sta enaka dolžini. (AB = DC, AD = BC)
• Dva para nasprotnih kotov sta enaka po velikosti. (
)
• Če so sosednji koti dopolnilni
• Par stranic, ki si nasprotujeta, je vzporeden in dolg. (AB = DC in AB∥DC)
• Diagonali se razpolovita (AO = OC, BO = OD)
• Vsaka diagonala deli štirikotnik na dva skladna trikotnika. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonal. To se včasih imenuje paralelogramski zakon in ima široko uporabo v fiziki in tehniki. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Vsako od zgornjih značilnosti lahko uporabimo kot lastnosti, ko ugotovimo, da je štirikotnik paralelogram.
Ploščino paralelograma lahko izračunamo z zmnožkom dolžine ene strani in višine do nasprotne strani. Zato lahko območje paralelograma navedemo kot
Površina paralelograma = osnova × višina = AB × h
Območje paralelograma je neodvisno od oblike posameznega paralelograma. Odvisna je le od dolžine osnove in pravokotne višine.
Če lahko stranice paralelograma predstavimo z dvema vektorjema, lahko površino dobimo z velikostjo vektorskega proizvoda (navzkrižni zmnožek) obeh sosednjih vektorjev.
Če sta strani AB in AD predstavljeni z vektorjema (
) oziroma (
), je površina paralelograma podana z
kjer je α kot med
in
Sledi nekaj naprednih lastnosti paralelograma;
• Površina paralelograma je dvakrat večja od površine trikotnika, ki ga ustvari katera od njegovih diagonal.
• Območje paralelograma deli na polovico katera koli črta, ki gre skozi središčnico.
• Vsaka nedegenerirana afina transformacija vodi paralelogram v drug paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsko simetrijo reda 2
• Vsota razdalj od katere koli notranje točke paralelograma do stranic je neodvisna od lokacije točke
Pravokotnik
Štirikotnik s štirimi pravimi koti je znan kot pravokotnik. To je poseben primer paralelograma, kjer so koti med katerima koli sosednjima stranicama pravokotni.
Poleg vseh lastnosti paralelograma je pri prepoznavanju geometrije pravokotnika mogoče prepoznati še dodatne značilnosti.
• Vsak kot pri ogliščih je pravi kot.
• Diagonale so enake dolžine in se razpolovijo. Zato so tudi razpolovljeni odseki enako dolgi.
• Dolžino diagonal lahko izračunamo s pomočjo Pitagorinega izreka:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Formula površine se zmanjša na zmnožek dolžine in širine.
Površina pravokotnika = dolžina × širina
• Na pravokotniku najdemo veliko simetričnih lastnosti, kot so;
- Pravokotnik je cikličen, kjer je mogoče vse točke postaviti na obod kroga.
- Je enakokoten, kjer so vsi koti enaki.
- Je izogonalno, kjer so vsi vogali znotraj iste simetrijske orbite.
- Ima tako odbojno simetrijo kot rotacijsko simetrijo.
Kakšna je razlika med paralelogramom in pravokotnikom?
• Paralelogram in pravokotnik sta štirikotnika. Pravokotnik je poseben primer paralelogramov.
• Površina katerega koli se lahko izračuna s pomočjo formule osnova × višina.
• Upoštevanje diagonal;
- Diagonale paralelograma se medsebojno razpolovijo, paralelogram pa razpolovi in tvori dva skladna trikotnika.
- diagonale pravokotnika so enake dolžine in se razpolovijo; dvojeni odseki so enaki po dolžini. Diagonale pravokotnik razpolovijo na dva skladna pravokotna trikotnika.
• Upoštevanje notranjih kotov;
- nasprotni notranji koti paralelograma so enaki po velikosti. Dva sosednja notranja kota sta dopolnilna
- Vsi štirje notranji koti pravokotnika so pravokotni.
• Glede na stranice;
- V paralelogramu je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonale (zakon o paralelogramu)
- V pravokotnikih je vsota kvadratov dveh sosednjih stranic enaka kvadratu diagonale na koncih. (Pitagorino pravilo)
