Parallelogram vs Quadrilateral
Štirikotniki in paralelogrami so poligoni, ki jih najdemo v evklidski geometriji. Paralelogram je poseben primer štirikotnika. Štirikotniki so lahko ravninski (2D) ali tridimenzionalni, medtem ko so paralelogrami vedno ravninski.
Štirikotnik
Štirikotnik je mnogokotnik s štirimi stranicami. Ima štiri oglišča, vsota notranjih kotov pa je 3600 (2π rad). Štirikotnike razvrščamo v samosekajoče se in enostavne štirikotnike. Samosekajoči se štirikotniki imajo dve ali več stranic, ki se križajo, manjše geometrijske figure (na primer trikotniki so oblikovani znotraj štirikotnika).
Preproste štirikotnike delimo tudi na konveksne in konkavne štirikotnike. Vbočeni štirikotniki imajo sosednje stranice, ki tvorijo odsevne kote znotraj slike. Preprosti štirikotniki, ki nimajo refleksnih kotov, so konveksni štirikotniki. Konveksni štirikotniki imajo lahko vedno tesselacije.
Večji del geometrije štirikotnikov na začetnih ravneh se nanaša na konveksne štirikotnike. Nekateri štirikotniki so nam zelo znani iz časov osnovnih šol. Sledi diagram, ki prikazuje različne izbočene štirikotnike.
Paralelogram
Paralelogram lahko definiramo kot geometrijsko sliko s štirimi stranicami, ki imajo nasprotne stranice, ki so vzporedne. Natančneje gre za štirikotnik z dvema paroma vzporednih stranic. Ta vzporedna narava daje paralelogramom veliko geometrijskih značilnosti.
Štirikotnik je paralelogram, če najdemo naslednje geometrijske značilnosti.
• Dva para nasprotnih stranic sta enaka dolžini. (AB = DC, AD = BC)
• Dva para nasprotnih kotov sta enaka po velikosti. (
)
• Če so sosednji koti dopolnilni
• Par stranic, ki si nasprotujeta, je vzporeden in dolg. (AB = DC in AB∥DC)
• Diagonali se razpolovita (AO = OC, BO = OD)
• Vsaka diagonala deli štirikotnik na dva skladna trikotnika. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje je vsota kvadratov stranic enaka vsoti kvadratov diagonal. To se včasih imenuje paralelogramski zakon in ima široko uporabo v fiziki in tehniki. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Vsako od zgornjih značilnosti lahko uporabimo kot lastnosti, ko ugotovimo, da je štirikotnik paralelogram.
Ploščino paralelograma lahko izračunamo z zmnožkom dolžine ene strani in višine do nasprotne strani. Zato lahko območje paralelograma navedemo kot
Površina paralelograma = osnova × višina = AB × h
Območje paralelograma je neodvisno od oblike posameznega paralelograma. Odvisna je le od dolžine osnove in pravokotne višine.
Če lahko stranice paralelograma predstavimo z dvema vektorjema, lahko površino dobimo z velikostjo vektorskega proizvoda (navzkrižni zmnožek) obeh sosednjih vektorjev.
Če sta strani AB in AD predstavljeni z vektorjema (
) oziroma (
), je površina paralelograma podana z
kjer je α kot med
in
Sledi nekaj naprednih lastnosti paralelograma;
• Površina paralelograma je dvakrat večja od površine trikotnika, ki ga ustvari katera od njegovih diagonal.
• Območje paralelograma deli na polovico katera koli črta, ki gre skozi središčnico.
• Vsaka nedegenerirana afina transformacija vodi paralelogram v drug paralelogram
• Paralelogram ima rotacijsko simetrijo reda 2
• Vsota razdalj od katere koli notranje točke paralelograma do stranic je neodvisna od lokacije točke
Kakšna je razlika med paralelogramom in štirikotnikom?
• Štirikotniki so mnogokotniki s štirimi stranicami (včasih imenovani tudi tetragoni), medtem ko je paralelogram posebna vrsta štirikotnika.
• Štirikotniki imajo lahko stranice v različnih ravninah (v 3d prostoru), medtem ko so vse stranice paralelograma na isti ravnini (ravnina / 2dimenzija).
• Notranji koti štirikotnika lahko zavzamejo katero koli vrednost (vključno z refleksnimi koti), tako da seštejejo do 3600. Paralelogrami imajo lahko kot največji tip kota le tope kote.
• Štiri stranice štirikotnika so lahko različne dolžine, medtem ko sta nasprotni strani paralelograma vedno vzporedni in dolgi.
• Katera koli diagonala deli paralelogram na dva skladna trikotnika, medtem ko trikotniki, ki jih tvori diagonala splošnega štirikotnika, niso nujno skladni.
