Power Series vs Taylor Series
V matematiki je pravo zaporedje urejen seznam realnih števil. Formalno je to funkcija od množice naravnih števil do množice realnih števil. Če je a n n- ti člen zaporedja, zaporedje označimo z ali z 1, a 2,…, a n, …. Na primer, upoštevaj zaporedje 1, ½, ⅓,…, 1 / n, … Označimo ga lahko kot {1 / n}.
Serijo je mogoče definirati s pomočjo zaporedij. Niz je vsota izrazov zaporedja. Zato je za vsako zaporedje povezano zaporedje in obratno. Če je {a n} obravnavano zaporedje, potem lahko niz, ki ga tvori to zaporedje, predstavimo kot:
Tako je v zgornjem primeru je povezana serija 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Kot že imena povedo, je potenčna serija posebna vrsta serij in se pogosto uporablja pri numerični analizi in z njo povezanem matematičnem modeliranju. Serija Taylor je posebna serija moči, ki ponuja alternativni in enostaven način zastopanja dobro znanih funkcij.
Kaj je serija Power?
Serija moči je serija oblike
ki je konvergentno (mogoče) za nek interval s središčem v c. Koeficienti a n so lahko realna ali kompleksna števila in niso odvisni od x; tj. preskusna spremenljivka.
Na primer z nastavitvijo n = 1 za vsak n in c = 0 dobimo vrsto moči 1 + x + x 2 +….. + x n +…. Lahko je opaziti, da ko je x ε (-1,1), ta serijska stopnja konvergira v 1 / (1-x).
Serija moči se konvergira, kadar je x = c. Ostale vrednosti x, pri katerih se potenčni niz zbliža, bodo vedno v obliki odprtega intervala s središčem v c. To pomeni, da bo vrednost 0≤ R ≤ ∞ takšna, da bo za vsak x, ki izpolnjuje | xc | ≤ R, potencialni niz konvergenten, za vsak x, ki izpolnjuje | xc |> R, pa se potenčni niz razlikuje. Ta vrednost R se imenuje polmer konvergence močnostnega niza (R ima lahko katero koli realno vrednost ali pozitivno neskončnost).
Serije moči je mogoče seštevati, odštevati, množiti in deliti z uporabo naslednjih pravil. Upoštevajte dve vrsti moči:
Potem,
tj. podobni izrazi se seštevajo ali odštevajo. Prav tako je mogoče pomnožiti in razdeliti dve vrsti moči z uporabo identitete,
Kaj je serija Taylor?
Taylorjeva vrsta je definirana za funkcijo f (x), ki je neskončno diferenciabilna v intervalu. Predpostavimo, da je f (x) diferencialen na intervalu s središčem v c. Nato vrsto moči, ki je podana z
se imenuje Taylorjeva razširitev funkcije f (x) okoli c. (Tu f (n) (c) označuje n- ti odvod pri x = c). V numerični analizi se pri izračunu vrednosti na točkah, kjer je niz konvergenten prvotni funkciji, uporablja končno število izrazov v tej neskončni razširitvi.
Funkcija f (x) naj bi bila analitična v intervalu (a, b), če za vsak x ε (a, b) Taylorjeva vrsta f (x) konvergira k funkciji f (x). Na primer, 1 / (1-x) analitična o (-1,1), od njene ekspanzije Taylor 1 + x + x 2 + ….. + x n + … konvergira k funkciji na tem intervalu, in e x je povsod analitičen, saj se Taylorjeva serija e x konvergira v e x za vsako realno število x.
Kakšna je razlika med serijami Power in Taylor?
1. Taylorjeva serija je poseben razred močnostnih nizov, ki je opredeljen samo za funkcije, ki se neskončno razlikujejo v nekem odprtem intervalu.
2. Taylorjeve serije imajo posebno obliko
medtem ko je potenčna serija lahko katera koli serija oblike
