Razlika Med Integracijo In Seštevanjem

2024 Avtor: Mildred Bawerman | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-16 08:42

Integracija vs seštevanje

V matematiki nad srednjo šolo integracija in seštevanje pogosto najdemo pri matematičnih operacijah. Na videz se uporabljajo kot različna orodja in v različnih situacijah, vendar imata zelo tesne odnose.

Več o seštevanju

Seštevanje je postopek dodajanja zaporedja številk in postopek je pogosto označen z grško veliko črko sigma Σ. Uporablja se za skrajšanje seštevanja in enako vsoti / seštevku zaporedja. Pogosto se uporabljajo za predstavitev nizov, ki so v bistvu neskončna zaporedja. Uporabljajo se lahko tudi za vsoto vektorjev, matric ali polinoma.

Seštevanje se običajno opravi za obseg vrednosti, ki jih lahko predstavlja splošni izraz, na primer niz, ki ima skupni izraz. Začetna točka in končna točka seštevanja sta znani kot spodnja in zgornja meja seštevanja.

Na primer, vsota zaporedja a ₁, a ₂, a ₃, a ₄,…, a _n je ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _n, ki jo je mogoče enostavno predstaviti z uporabo seštevalnega zapisa kot ∑ ⁿ _{i = 1} a _i; i se imenuje indeks seštevanja.

Za seštevanje na podlagi aplikacije je uporabljenih veliko različic. V nekaterih primerih je lahko zgornja in spodnja meja podana kot interval ali obseg, na primer ∑ _1≤i≤100 a _i in ∑ _{i∈ [1,100]} a _i. Lahko pa je podan kot niz števil, kot je ∑ _i∈P a _i, kjer je P definirana množica.

V nekaterih primerih lahko uporabimo dva ali več sigma znakov, lahko pa jih posplošimo na naslednji način; ∑ _j ∑ _k a _jk = ∑ _{j, k} a _jk.

Tudi seštevanje sledi številnim algebrskim pravilom. Ker je vdelana operacija seštevanje, lahko mnoga skupna pravila algebre uporabimo za same vsote in za posamezne izraze, prikazane s seštevanjem.

Več o integraciji

Integracija je opredeljena kot obratni postopek diferenciacije. Toda v svojem geometričnem pogledu ga lahko štejemo tudi kot območje, ki ga zapirata krivulja funkcije in osi. Zato izračun površine daje vrednost določenega integrala, kot je prikazano na diagramu.

Vir slike:

Vrednost določenega integrala je pravzaprav vsota majhnih trakov znotraj krivulje in osi. Površina vsakega traku je višina × širina na točki na obravnavani osi. Širina je vrednost, ki jo lahko izberemo, recimo ∆x. In višina je približno vrednost funkcije na obravnavani točki, recimo f (x _i). Iz diagrama je razvidno, da so manjši trakovi bolje, da se trakovi prilegajo znotraj omejenega območja in s tem boljši približek vrednosti.

Tako je na splošno določen integral I med točkama a in b (tj. V intervalu [a, b], kjer je a1) ∆x + f (x ₂) ∆x + ⋯ + f (x _n) ∆x, kjer je n število trakov (n = (ba) / ∆x). Ta seštevek površine lahko enostavno predstavimo z uporabo seštevalnega zapisa, ko je I ≅ ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x. Ker je približek boljši, ko je ∆x manjši, lahko izračunamo vrednost, ko je ∆x → 0. Zato je smiselno reči I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x.

Kot posplošitev iz zgornjega koncepta lahko izberemo ∆x na podlagi upoštevanega intervala, indeksiranega z i (izbira širine območja glede na položaj). Potem pridemo

I = lim _{∆x → 0} ∑ ⁿ _{i = 1} f (x _i) ∆x _i = _a ∫ ^b f (x) dx

To je znano kot Reimannov integral funkcije f (x) v intervalu [a, b]. V tem primeru sta a in b znani kot zgornja in spodnja meja integrala. Reimannov integral je osnovna oblika vseh načinov integracije.

V bistvu je integracija seštevanje površine, ko je širina pravokotnika neskončno majhna.

Kakšna je razlika med integracijo in seštevanjem?

• Seštevanje je seštevanje zaporedja števil. Ponavadi je vsota podana v tej obliki ∑ ⁿ _{i = 1} a _i, kadar imajo izrazi v zaporedju vzorec in jih lahko izrazimo s splošnim izrazom.

• Integracija je v bistvu območje, ki ga omejuje krivulja funkcije, os ter zgornja in spodnja meja. To območje lahko podamo kot vsoto veliko manjših površin, vključenih v omejeno območje.

• Vsota vključuje diskretne vrednosti z zgornjo in spodnjo mejo, medtem ko integracija vključuje neprekinjene vrednosti.

• Integracijo lahko razlagamo kot posebno obliko seštevanja.

• Pri numeričnih računskih metodah se integracija vedno izvede kot seštevanje.