Vzajemno izključni vs neodvisni dogodki
Ljudje pogosto zamenjujejo koncept medsebojno izključujočih se dogodkov z neodvisnimi dogodki. Pravzaprav gre za dve različni stvari.
Naj bosta A in B katera koli dva dogodka, povezana z naključnim poskusom E. P (A) se imenuje "verjetnost A". Podobno lahko določimo verjetnost B kot P (B), verjetnost A ali B kot P (A∪B) in verjetnost A in B kot P (A∩B). Potem je P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Vendar pa naj bi se dva dogodka medsebojno izključevala, če pojav enega dogodka ne vpliva na drugega. Z drugimi besedami, ne morejo se pojaviti hkrati. Če se torej dva dogodka A in B medsebojno izključujeta, potem je A∩B = ∅ in to pomeni, da je P (A∪B) = P (A) + P (B).
Naj sta A in B dva dogodka v vzorčnem prostoru S. Pogojna verjetnost A, glede na to, da je prišlo do B, je označena s P (A | B) in je definirana kot; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), pod pogojem, da je P (B)> 0. (sicer ni opredeljeno.)
Dogodek A naj bi bil neodvisen od dogodka B, če na verjetnost, da se zgodi A, ne vpliva, ali se je B zgodil ali ne. Z drugimi besedami, izid dogodka B ne vpliva na izid dogodka A. Zato je P (A | B) = P (A). Podobno je B neodvisen od A, če je P (B) = P (B | A). Zato lahko sklepamo, da če sta A in B neodvisna dogodka, potem je P (A∩B) = P (A). P (B)
Predpostavimo, da je oštevilčena kocka valjana in pravičen kovanec obrnjen. Naj bo A dogodek, da je pridobitev glave, B pa dogodek, ki premika sodo številko. Potem lahko sklepamo, da sta dogodka A in B neodvisna, ker izid enega ne vpliva na izid drugega. Zato je P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Ker sta P (A∩B) ≠ 0, se A in B ne moreta medsebojno izključevati.
Recimo, da žara vsebuje 7 belih in 8 črnih frnikol. Dogodek A definirajte kot risanje belega marmorja, dogodek B pa kot risanje črnega marmorja. Ob predpostavki, da bo vsak marmor zamenjan po zapisu njegove barve, potem bosta P (A) in P (B) vedno enaki, ne glede na to, kolikokrat potegnemo iz žare. Zamenjava frnikole pomeni, da se verjetnosti ne spreminjajo od žreba do žrebanja, ne glede na to, kakšno barvo smo izbrali pri zadnjem žrebanju. Zato sta dogodek A in B neodvisna.
Če pa so frnikole risali brez nadomestitve, potem se vse spremeni. Po tej predpostavki dogodka A in B nista neodvisna. Risanje belega marmorja prvič spremeni verjetnosti za risanje črnega marmorja pri drugem žrebanju in tako naprej. Z drugimi besedami, vsak žreb vpliva na naslednji žreb, zato posamezni žrebi niso neodvisni.
Razlika med medsebojno izključnimi in neodvisnimi dogodki
- Medsebojna ekskluzivnost dogodkov pomeni, da med množicama A in B. ni prekrivanja. Neodvisnost dogodkov pomeni, da dogajanje A ne vpliva na dogajanje B.
- Če se dva dogodka A in B medsebojno izključujeta, potem je P (A∩B) = 0.
- Če sta dva dogodka A in B neodvisna, je P (A∩B) = P (A). P (B)
