Kardinal vs redni
V našem vsakdanjem življenju ima lahko uporaba števil v različnih oblikah različne oblike. Na primer, ko štejemo, da ugotovimo velikost zbirke predmetov, jih štejemo kot eno, dve, tri itd. Ko želimo nekaj prešteti, da dobimo občutek položaja predmetov, jih štejemo kot prvi, drugi, tretji itd. V prvi obliki štetja naj bi bila številka kardinalna števila. V drugi obliki štetja štejejo števila kot redne številke. V tem kontekstu sta pojma kardinal in ordinal popolnoma stvar jezikoslovja; kardinal in red sta pridevnika.
Vendar razširitev koncepta na množice v matematiki razkriva veliko globlje in širše perspektive in je ni mogoče obravnavati preprosto. V tem članku bomo poskušali razumeti temeljne koncepte kardinalnih in rednih števil v matematiki.
Formalne definicije kardinalnih in rednih števil so podane v teoriji množic. Definicije so zapletene in za njihovo popolno razumevanje je potrebno osnovno znanje teorije množic. Zato se bomo obrnili na nekaj primerov, da bomo te pojme razumeli hevristično.
Razmislite o dveh sklopih {1,3,6,4,5,2} in {avtobus, avto, trajekt, vlak, letalo, helikopter}. Vsak niz našteva nabor elementov in če preštejemo število elementov, je razvidno, da ima vsak enako število elementov, kar je 6. Pri tem zaključku smo izbrali velikost enega niza in ga primerjali z drugim številko. Takšno število se imenuje kardinalno število. Zato lahko rečemo, da je kardinalno število število, s katerim lahko primerjamo velikost končnih množic.
Tudi prvi niz številk lahko razvrstimo po naraščajočem vrstnem redu glede na velikost vsakega elementa in njihovo primerjavo. V postopku naročanja štejejo številke kot kardinali. Podobno lahko množico vseh neizogibnih celih števil določimo v nizu; tj. {0,1,2,3,4,…..}. Toda v tem primeru velikost niza postane neskončna in podajanje v smislu ordinalov ni mogoče. Ne glede na to, kako veliko število izberete, da določite velikost nabora, bodo iz nabora, ki ste ga izbrali, še vedno ostale številke, ki so nenegativna cela števila.
Zato matematiki tega neskončnega kardinala (ki je prvi) opredelijo kot Aleph-0, zapisan kot א (prva črka v hebrejski abecedi). Formalno je zaporedna številka vrsta naročila dobro urejenega niza. Zato lahko zaporedno številko končnih množic damo s kardinalnimi številkami, za neskončne množice pa redne številke s transfinnimi števili, kot je Aleph-0.
Kakšna je razlika med kardinalnimi in rednimi številkami?
• Kardinalno število je število, ki ga lahko uporabimo za štetje ali za določitev velikosti končnega urejenega niza. Vse kardinalne številke so redne.
• Redne številke so številke, ki se uporabljajo za določanje velikosti tako končnih kot neskončnih urejenih množic. Velikost končnih urejenih množic je podana z običajnimi hindujsko-arabskimi algebrskimi številkami, neskončna velikost množic pa s končnimi števili.
