Real Numbers vs Imaginary Numbers
Števila so matematični predmeti, ki se uporabljajo za štetje in merjenje. Njegova opredelitev se je skozi leta spreminjala z dodajanjem nič, negativnih števil, racionalnih števil, iracionalnih števil in namišljenih števil. Čeprav se abstraktna osnova številskih sistemov nanaša na algebraične strukture, kot so skupine, obroči in polja, je tu predstavljena le intuitivna ideja.
Kaj je resnično število?
Neformalno opredeljujoče je realno število število, katerega kvadrat je nenegativen. V matematičnem zapisu označimo množico realnih števil s simbolom R. Zato lahko za vse x, če je x ϵ R, potem x 2 ≥ 0. Na bolj strog način lahko uvedemo nabor realnih števil kot edinstveno, popolno popolnoma urejeno polje z binarno operacijo + in. skupaj z relacijo vrstni red <. Ta relacija vrstnega reda sledi zakonu trihotomije, ki pravi, da glede na dve realni števili x in y velja eno in samo eno od teh 3; x> y, x <y ali x = y.
Realno število je lahko algebrsko ali transcendentalno, odvisno od tega, ali je koren polinomske enačbe s celoštevilčnimi koeficienti ali ne. Realno število je lahko tudi racionalno ali iracionalno, odvisno od tega, ali ga lahko izrazimo kot razmerje dveh celih števil ali ne. Na primer, 2,5 je realno število, ki je algebrsko in racionalno, toda ᴫ je neracionalno in tudi transcendentalno.
Nabor realnih števil je popoln. To pomeni, da ima za vsako neprazno podmnožico realnih števil, ki je zgoraj omejena, najmanj zgornjo mejo, in iz tega je mogoče razbrati, da ima za vsako neprazno podmnožico realnih števil, ki je omejena spodaj, največjo spodnjo mejo. To razlikuje množico realnih števil od množice racionalnih števil. Trdimo lahko, da je množica realnih števil zgrajena tako, da se zapolnijo vrzeli niza nepopolnih racionalnih števil, vrzeli pa so iracionalna števila.
Kaj je namišljeno število?
Namišljeno število je število, katerega kvadrat je negativen. Z drugimi besedami, števila, kot so √ (-1), √ (-100) in √ (- e), so namišljena števila. Vsa namišljena števila lahko zapišemo v obliki ai, kjer je i 'namišljena enota' √ (-1) in a je ne-nič realno število. (Upoštevajte, da je i 2 = -1). Čeprav se zdi, da te številke niso resnične in kot že ime pove, jih uporabljajo v številnih bistvenih aplikacijah v resničnem svetu, na področjih, kot so letalstvo, elektronika in inženirstvo.
Kakšna je razlika med realnimi in namišljenimi števili?
• Kvadrat realnega števila je nenegativen, kvadrat namišljenega števila pa negativen.
• Nabor realnih števil tvori popolno popolnoma urejeno polje, medtem ko nabor namišljenih števil ni niti popoln niti urejen.
