Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integracija je glavna tema računa. V širšem smislu lahko integracijo razumemo kot obratni postopek diferenciacije. Pri modeliranju problemov iz resničnega sveta je enostavno pisati izraze, ki vključujejo izpeljanke. V takem primeru je potrebna operacija integracije, da se najde funkcija, ki je dala določen izpeljanko.
Z drugega zornega kota je integracija postopek, ki povzema zmnožek funkcije ƒ (x) in δx, kjer je δx navadno določena meja. Zato simbol za integracijo uporabljamo kot ∫. Simbol ∫ je pravzaprav tisto, kar dobimo z raztezanjem črke s, da se sklicujemo na vsoto.
Riemann Integral
Razmislite o funkciji y = ƒ (x). Integral y med a in b, kjer a in b pripadata množici x, je zapisan kot b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). To se imenuje določen integral enoznačne in zvezne funkcije y = ƒ (x) med a in b. Tako dobimo površino pod krivuljo med a in b. Temu pravimo tudi Riemannov integral. Riemannov integral je ustvaril Bernhard Riemann. Riemannov integral neprekinjene funkcije temelji na Jordanovi meri, zato je opredeljen tudi kot meja Riemannovih vsot funkcije. Za realno vrednoteno funkcijo, definirano na zaprtem intervalu, je Riemannov integral funkcije glede na particijo x 1, x 2,…, x ndefiniran na intervalu [a, b] in t 1, t 2,…, t n, kjer je x i ≤ t i ≤ x i + 1 za vsak i ε {1, 2,…, n}, je opredeljena Riemannova vsota kot Σ i = o do n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgueov integral
Lebesgue je druga vrsta integrala, ki zajema najrazličnejše primere kot Riemannov integral. Lebesgueov integral je uvedel Henri Lebesgue leta 1902. Legesgue integracijo lahko štejemo za posploševanje Riemannove integracije.
Zakaj moramo preučevati še en integral?
Upoštevajmo karakteristično funkcijo ƒ A (x) = { 0, če x ni ε A 1, če je x ε A na množici A. Nato končna linearna kombinacija karakterističnih funkcij, ki je definirana kot F (x) = Σ a i ƒ E i (x) se imenuje preprosta funkcija, če je E i merljiva za vsak i. Lebesgueov integral F (x) nad E je označen z E ∫ ƒ (x) dx. Funkcija F (x) ni Riemannova integrirana. Zato je Lebesgueov integral preoblikovan Riemannov integral, ki ima nekatere omejitve glede funkcij, ki jih je treba integrirati.
Kakšna je razlika med Riemann Integral in Lebesgue Integral?
· Lebesgueov integral je posploševalna oblika Riemannovega integrala.
· Lebesguejev integral omogoča štetje neskončnosti diskontinuitet, medtem ko Riemannov integral omogoča končno število diskontinuitet.
