Asociativno vs komutativno
V vsakdanjem življenju moramo uporabiti številke, kadar koli potrebujemo nekaj. V trgovini z živili, na bencinski črpalki in celo v kuhinji moramo seštevati, odštevati in množiti dve ali več količin. Iz naše prakse te izračune izvajamo precej brez napora. Nikoli ne opazimo ali se vprašamo, zakaj te operacije izvajamo na takšen način. Ali zakaj teh izračunov ni mogoče narediti drugače. Odgovor se skriva v načinu definiranja teh operacij v matematičnem polju algebre.
V algebri je operacija, ki vključuje dve količini (na primer seštevanje), definirana kot binarna operacija. Natančneje gre za operacijo med dvema elementoma iz nabora in ti elementi se imenujejo "operand". Številne operacije v matematiki, vključno z aritmetičnimi operacijami, omenjenimi prej, in tiste, ki jih srečamo v teoriji množic, linearni algebri in matematični logiki, lahko definiramo kot binarne operacije.
Obstaja sklop pravil, ki se nanašajo na določeno binarno operacijo. Asociativne in komutativne lastnosti so dve temeljni lastnosti binarnih operacij.
Več o komutativni lastnosti
Recimo, da se na elementih A in B izvede neka binarna operacija, označena s simbolom ⊗. Če vrstni red operandov ne vpliva na rezultat operacije, naj bi bila operacija komutativna. če je A ⊗ B = B ⊗ A, je operacija komutativna.
Aritmetične operacije seštevanja in množenja so komutativne. Vrstni red števil, ki jih seštejemo ali pomnožimo, ne vpliva na končni odgovor:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Toda v primeru delitve sprememba vrstnega reda daje vzajemnost drugega, pri odštevanju pa negativna druge. Zato
A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 in 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 in 5 ÷ 4 = 1,25 [v tem primeru A, B ≠ 1 in 0]
Pravzaprav naj bi bilo odštevanje protikomutativno; kjer je A - B = - (B - A).
Tudi logične vezi, veznik, disjunkcija, implikacija in enakovrednost so prav tako komutativni. Funkcije resnice so tudi komutativne. Sindikat in presečišče nastavljenih operacij sta komutativna. Seštevanje in skalarni zmnožek vektorjev sta tudi komutativna.
Toda vektorsko odštevanje in vektorski zmnožek ni komutativen (vektorski zmnožek dveh vektorjev je protikomutativen). Dodajanje matrike je komutativno, vendar množenje in odštevanje nista komutativna. (Množenje dveh matrik je v posebnih primerih lahko komutativno, na primer množenje matrike z njeno inverzno ali identitetno matriko; vsekakor pa matrice niso komutativne, če matrice niso enake velikosti)
Več o asociativni lastnini
Binarna operacija naj bi bila asociativna, če vrstni red izvedbe ne vpliva na rezultat, če sta prisotna dva ali več pojavitev operaterja. Upoštevajmo elemente A, B in C ter binarno operacijo ⊗. Operacija ⊗ naj bi bila asociativna, če
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Od osnovnih aritmetičnih funkcij sta asociativni le seštevanje in množenje.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Odštevanje in deljenje nista asociativna;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 in (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 in (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Ločitev, konjunkcija in enakovrednost logičnih vezi so asociativni, kot tudi povezava in presečišče nabora operacij. Matrika in vektorski seštevek sta asociativna. Skalarni zmnožek vektorjev je asociativen, vektorski pa ne. Množenje matric je asociativno le v posebnih okoliščinah.
Kakšna je razlika med komutativno in asociativno lastnino?
• Tako asociativna lastnost kot komutativna lastnost sta posebni lastnosti binarnih operacij in nekateri ju izpolnjujejo, drugi pa ne.
• Te lastnosti je mogoče opaziti v številnih oblikah algebrskih operacij in drugih binarnih operacijah v matematiki, na primer presečišču in združitvi v teoriji množic ali logičnih veznicah.
• Razlika med komutativnim in asociativnim je v tem, da komutativna lastnost navaja, da vrstni red elementov ne spremeni končnega rezultata, medtem ko asociativna lastnost navaja, da vrstni red izvedbe operacije ne vpliva na končni odgovor.
