Logaritmično vs eksponentno | Eksponentna funkcija vs logaritmična funkcija
Funkcije so eden najpomembnejših razredov matematičnih predmetov, ki se pogosto uporabljajo v skoraj vseh podpoljih matematike. Ker njihova imena kažejo, da sta eksponentna in logaritemska funkcija dve posebni funkciji.
Funkcija je razmerje med dvema nizoma, definirano tako, da je za vsak element v prvem nizu vrednost, ki mu ustreza v drugem nizu, edinstvena. Naj bo ƒ funkcija, definirana iz množice A v množico B. Potem za vsak x ϵ A simbol ƒ (x) označuje edinstveno vrednost v nizu B, ki ustreza x. Imenuje se slika x pod ƒ. Zato je razmerje ƒ od A do B funkcija, če in samo, če je za vsak x ϵ A in y ϵ A, če je x = y, potem ƒ (x) = ƒ (y). Niz A se imenuje domena funkcije ƒ in je niz, v katerem je funkcija definirana.
Kaj je eksponentna funkcija?
Eksponentna funkcija je funkcija, dana z ƒ (x) = e x, kjer je e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2.718…) in je transcendentalno iracionalno število. Ena od posebnosti funkcije je, da je izpeljanka funkcije enaka sebi; tj. kadar je y = e x, dy / dx = e x. Funkcija je tudi povsod neprekinjeno naraščajoča funkcija, ki ima os x kot asimptoto. Zato je tudi funkcija ena na ena. Za vsak x ϵ R imamo e x > 0 in lahko pokažemo, da je na R +. Prav tako sledi osnovni identiteti e x + y = e x.e y in e 0= 1. Funkcijo lahko predstavimo tudi z razširitvijo zaporedja, ki je podana z 1 + x / 1! + X 2 /2! + X 3 /3! +… + X n / n! +…
Kaj je logaritmična funkcija?
Logaritmična funkcija je inverzna vrednost eksponentne funkcije. Ker je eksponentna funkcija ena na ena in na R +, lahko funkcijo g definiramo iz niza pozitivnih realnih števil v množico realnih števil, podanih z g (y) = x, če in samo, če y = e x. Ta funkcija g se imenuje logaritmična funkcija ali najpogosteje naravni logaritem. Označuje se z g (x) = log e x = ln x. Ker gre za inverzno eksponentno funkcijo, če vzamemo odsev grafa eksponentne funkcije nad premico y = x, potem bomo imeli graf logaritemske funkcije. Tako je funkcija asimptotična glede na os y.
Logaritmična funkcija sledi nekaterim osnovnim pravilom, izmed katerih so ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y in ln xy = y ln x. To je tudi vedno večja funkcija, ki je povsod neprekinjena. Zato je tudi ena na ena. Lahko se dokaže, da je na R.
Kakšna je razlika med eksponentno in logaritemsko funkcijo?
• Eksponentna funkcija je podana z ƒ (x) = e x, medtem ko je logaritmična funkcija podana z g (x) = ln x, prva pa je inverzna vrednost slednje.
• Domena eksponentne funkcije je niz realnih števil, domena logaritemske funkcije pa je množica pozitivnih realnih števil.
• Območje eksponentne funkcije je niz pozitivnih realnih števil, vendar je obseg logaritemske funkcije niz realnih števil.
