Naključne spremenljivke proti porazdelitvi verjetnosti
Statistični poskusi so naključni poskusi, ki jih je mogoče ponavljati v nedogled z znanimi izidi. Tako naključne spremenljivke kot verjetnostne porazdelitve so povezane s takimi poskusi. Za vsako naključno spremenljivko je povezana porazdelitev verjetnosti, ki jo definira funkcija, imenovana kumulativna porazdelitvena funkcija.
Kaj je naključna spremenljivka?
Naključna spremenljivka je funkcija, ki rezultatom statističnega eksperimenta dodeli številčne vrednosti. Z drugimi besedami, gre za funkcijo, določeno iz vzorčnega prostora statističnega eksperimenta v množico realnih števil.
Na primer, razmislite o naključnem poskusu, da dvakrat obrnete kovanec. Možni izidi so HH, HT, TH in TT (H-glave, T-zgodbe). Naj bo spremenljivka X število glav, opaženih v poskusu. Nato lahko X zavzame vrednosti 0, 1 ali 2 in je naključna spremenljivka. Tu bo naključna spremenljivka X preslikala množico S = {HH, HT, TH, TT} (prostor vzorca) na množico {0, 1, 2} tako, da bo HH preslikana na 2, HT in TH se preslikajo na 1 in TT preslika na 0. V zapisu funkcije to lahko zapišemo kot, X: S → R, kjer je X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 in X (TT) = 0.
Obstajata dve vrsti naključnih spremenljivk: diskretna in neprekinjena, zato je število možnih vrednosti, ki jih naključna spremenljivka lahko prevzame, kvečjemu prešteto ali ne. V prejšnjem primeru je naključna spremenljivka X diskretna naključna spremenljivka, saj je {0, 1, 2} končni niz. Zdaj pa razmislite o statističnem poskusu iskanja uteži učencev v razredu. Naj bo Y naključna spremenljivka, opredeljena kot teža študenta. Y lahko sprejme določeno realno vrednost v določenem intervalu. Y je torej neprekinjena naključna spremenljivka.
Kaj je porazdelitev verjetnosti?
Porazdelitev verjetnosti je funkcija, ki opisuje verjetnost naključne spremenljivke, ki ima določene vrednosti.
Funkcijo, imenovano kumulativna porazdelitvena funkcija (F), lahko določimo od množice realnih števil do množice realnih števil kot F (x) = P (X ≤ x) (verjetnost, da bo X manjša ali enaka x) za vsak možen izid x. Zdaj lahko kumulativno porazdelitveno funkcijo X v prvem primeru zapišemo kot F (a) = 0, če je a <0; F (a) = 0,25, če je 0≤a <1; F (a) = 0,75, če je 1≤a <2 in F (a) = 1, če je a≥2.
V primeru diskretnih naključnih spremenljivk lahko funkcijo določimo iz množice možnih izidov v množico realnih števil tako, da je ƒ (x) = P (X = x) (verjetnost, da bo X enaka x) za vsak možen izid x. Ta posebna funkcija ƒ se imenuje funkcija verjetnostne mase naključne spremenljivke X. Zdaj lahko funkcijo verjetnosti mase X v prvem določenem primeru zapišemo kot ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25 in ƒ (x) = 0 sicer. Tako bo funkcija mase verjetnosti skupaj s funkcijo kumulativne porazdelitve v prvem primeru opisala porazdelitev verjetnosti X.
V primeru neprekinjenih naključnih spremenljivk lahko funkcijo, imenovano funkcijo gostote verjetnosti (ƒ), definiramo kot ƒ (x) = dF (x) / dx za vsak x, kjer je F kumulativna funkcija porazdelitve neprekinjene naključne spremenljivke. Lahko je videti, da ta funkcija izpolnjuje ∫ƒ (x) dx = 1. Funkcija gostote verjetnosti skupaj s funkcijo kumulativne porazdelitve opisuje porazdelitev verjetnosti zvezne naključne spremenljivke. Na primer, normalna porazdelitev (ki je stalna verjetnostna porazdelitev) je opisana z uporabo funkcije gostote verjetnosti ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Kakšna je razlika med naključnimi spremenljivkami in porazdelitvijo verjetnosti?
• Naključna spremenljivka je funkcija, ki vrednosti vzorčnega prostora poveže z realnim številom.
• Razporeditev verjetnosti je funkcija, ki vrednosti, ki jih lahko naključna spremenljivka poveže z ustrezno verjetnostjo pojava.
