Funkcija porazdelitve verjetnosti in funkcija gostote verjetnosti
Verjetnost je verjetnost, da se dogodek zgodi. Ta ideja je zelo pogosta in se pogosto uporablja v vsakdanjem življenju, ko ocenjujemo svoje priložnosti, transakcije in številne druge stvari. Razširitev tega preprostega koncepta na večji nabor dogodkov je nekoliko zahtevnejša. Na primer, ne moremo zlahka ugotoviti možnosti za zmago na loteriji, vendar je priročno, precej intuitivno, če rečemo, da obstaja verjetnost, da bo eden od šestih v vrženih kockah dobil številko šest.
Ko je število dogodkov, ki se lahko zgodijo, ali je število posameznih možnosti veliko, ta precej preprosta ideja o verjetnosti ne uspe. Zato je treba dati trdno matematično opredelitev, preden se lotevamo problemov z večjo zapletenostjo.
Ko je število dogodkov, ki se lahko zgodijo v posamezni situaciji, veliko, je nemogoče obravnavati vsak dogodek posebej, kot na primeru vrženih kock. Zato je celoten nabor dogodkov povzet z uvedbo koncepta naključne spremenljivke. Je spremenljivka, ki lahko prevzame vrednosti različnih dogodkov v določeni situaciji (ali vzorčnem prostoru). Matematičnim smislom daje preproste dogodke v situaciji in matematični način obravnave dogodka. Natančneje, naključna spremenljivka je funkcija realne vrednosti nad elementi vzorčnega prostora. Naključne spremenljivke so lahko diskretne ali neprekinjene. Običajno jih označujejo velike črke angleške abecede.
Funkcija porazdelitve verjetnosti (ali preprosto porazdelitev verjetnosti) je funkcija, ki dodeli vrednosti verjetnosti za vsak dogodek; tj. zagotavlja povezavo z verjetnostmi za vrednosti, ki jih lahko sprejme naključna spremenljivka. Funkcija porazdelitve verjetnosti je definirana za diskretne naključne spremenljivke.
Funkcija gostote verjetnosti je enakovredna funkciji porazdelitve verjetnosti za zvezne naključne spremenljivke in daje verjetnost, da določena naključna spremenljivka prevzame določeno vrednost.
Če je X diskretna naključna spremenljivka, se funkcija, podana kot f (x) = P (X = x) za vsak x v območju X, imenuje funkcija porazdelitve verjetnosti. Funkcija lahko služi kot funkcija porazdelitve verjetnosti takrat in le, če funkcija izpolnjuje naslednje pogoje.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Funkcija f (x), ki je definirana nad množico realnih števil, se imenuje funkcija gostote verjetnosti zvezne naključne spremenljivke X, če in samo, če
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx za katere koli realne konstante a in b.
Funkcija gostote verjetnosti mora izpolnjevati tudi naslednje pogoje.
1. f (x) ≥ 0 za vse x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
Funkcija porazdelitve verjetnosti in funkcija gostote verjetnosti se uporabljata za predstavitev porazdelitve verjetnosti po vzorčnem prostoru. Običajno se temu reče verjetnostna porazdelitev.
Za statistično modeliranje so izpeljane standardne funkcije gostote verjetnosti in funkcije porazdelitve verjetnosti. Normalna in standardna normalna porazdelitev sta primera neprekinjene porazdelitve verjetnosti. Binomna porazdelitev in Poissonova porazdelitev sta primera diskretnih porazdelitev verjetnosti.
Kakšna je razlika med porazdelitvijo verjetnosti in funkcijo gostote verjetnosti?
• Funkcija porazdelitve verjetnosti in funkcija gostote verjetnosti sta funkciji, določeni v vzorčnem prostoru, da vsakemu elementu dodelimo ustrezno vrednost verjetnosti.
• Funkcije porazdelitve verjetnosti so definirane za diskretne naključne spremenljivke, medtem ko so funkcije gostote verjetnosti definirane za zvezne naključne spremenljivke.
• Porazdelitev vrednosti verjetnosti (tj. Porazdelitve verjetnosti) najbolje prikazujeta funkcija gostote verjetnosti in funkcija porazdelitve verjetnosti.
• Funkcijo porazdelitve verjetnosti lahko predstavimo kot vrednosti v tabeli, vendar to za funkcijo verjetnosti gostote ni mogoče, ker je spremenljivka neprekinjena.
• Ko je narisana, funkcija porazdelitve verjetnosti daje grafikon, medtem ko funkcija gostote verjetnosti daje krivuljo.
• Višina / dolžina palic funkcije porazdelitve verjetnosti mora biti enaka 1, površina pod krivuljo funkcije verjetnostne gostote pa 1.
• V obeh primerih morajo biti vse vrednosti funkcije nenegativne.
