Fourierjeva serija vs Fourierjeva transformacija
Fourierjeva serija razkraja periodično funkcijo v vsoto sinusov in kosinusov z različnimi frekvencami in amplitudami. Fourierjeva serija je veja Fourierjeve analize in jo je uvedel Joseph Fourier. Fourierjeva transformacija je matematična operacija, ki prebije signal na sestavne frekvence. Prvotni signal, ki se je spreminjal skozi čas, se imenuje predstavitev signala v časovni domeni. Fourierjeva transformacija se imenuje predstavitev signala v frekvenčni domeni, saj je odvisna od frekvence. Tako predstavitev signala v frekvenčni domeni kot postopek, ki se uporablja za pretvorbo tega signala v frekvenčno domeno, se imenuje Fourierjeva transformacija.
Kaj je Fourierjeva serija?
Kot smo že omenili, je Fourierjeva vrsta razširitev periodične funkcije z uporabo neskončne vsote sinusov in kosinusov. Fourierjeva serija je bila sprva razvita pri reševanju toplotnih enačb, kasneje pa je bilo ugotovljeno, da je mogoče isto tehniko uporabiti za reševanje velikega števila matematičnih problemov, zlasti problemov, ki vključujejo linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti. Zdaj se Fourierjeva serija uporablja na številnih področjih, vključno z elektrotehniko, analizami vibracij, akustiko, optiko, obdelavo signalov, obdelavo slik, kvantno mehaniko in ekonometrijo. Fourierjevi nizi uporabljajo razmerja pravokotnosti sinusne in kosinusne funkcije. Izračun in proučevanje Fourierjevih nizov je znan kot harmonska analiza in je zelo koristen pri delu s poljubnimi periodičnimi funkcijami,saj omogoča razčlenitev funkcije na preproste izraze, s katerimi lahko dobimo rešitev za prvotni problem.
Kaj je Fourierjeva transformacija?
Fourierjeva transformacija definira razmerje med signalom v časovni domeni in njegovo predstavitvijo v frekvenčni domeni. Fourierjeva transformacija funkcijo razgradi v nihajne funkcije. Ker gre za preoblikovanje, lahko iz poznavanja preoblikovanja dobimo izvirni signal, zato v procesu ne nastanejo ali izgubijo se informacije. Študija Fourierjevih serij dejansko daje motivacijo za Fourierjevo transformacijo. Zaradi lastnosti sinusov in kosinusov je mogoče obnoviti količino vsakega vala, ki prispeva k vsoti z uporabo integrala. Fourierjeva transformacija ima nekatere osnovne lastnosti, kot so linearnost, translacija, modulacija, skaliranje, konjugacija, dvojnost in konvolucija. Fourierjeva transformacija se uporablja pri reševanju diferencialnih enačb, saj je Fourierjeva transformacija tesno povezana z Laplaceovo transformacijo. Fourierjeva transformacija se uporablja tudi v jedrski magnetni resonanci (NMR) in pri drugih vrstah spektroskopije.
Razlika med Fourierjevim nizom in Fourierjevo transformacijo
Fourierjeva serija je razširitev periodičnega signala kot linearna kombinacija sinusov in kosinusov, medtem ko je Fourierjeva transformacija postopek ali funkcija za pretvorbo signalov iz časovne domene v frekvenčno domeno. Fourierjeva vrsta je definirana za periodične signale in Fourierjevo transformacijo je mogoče uporabiti za aperiodične (ki se pojavljajo brez periodičnosti) signale. Kot smo že omenili, študija Fourierjevih serij dejansko zagotavlja motivacijo za Fourierjevo transformacijo.
