Razlika Med Izpeljanko In Diferencialom

2024 Avtor: Mildred Bawerman | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2023-12-16 08:42

Izpeljana v primerjavi z diferencialno

V diferencialnem računanju sta izpeljava in diferencial funkcije tesno povezana, vendar imata zelo različen pomen in sta uporabljena za predstavitev dveh pomembnih matematičnih predmetov, povezanih z diferenciabilnimi funkcijami.

Kaj je izpeljanka?

Izpeljanka funkcije meri hitrost, s katero se vrednost funkcije spreminja, ko se spremeni njen vhod. Pri funkcijah z več spremenljivkami je sprememba vrednosti funkcije odvisna od smeri spremembe vrednosti neodvisnih spremenljivk. Zato se v takih primerih izbere določena smer in funkcija se razlikuje v tej smeri. Ta odvod se imenuje usmerjeni odvod. Delni derivati so posebna vrsta usmerjenih derivatov.

Izpeljanko vektorsko vrednotene funkcije f lahko definiramo kot mejo,

kadar koli obstaja končno. Kot smo že omenili, nam to daje hitrost povečanja funkcije f vzdolž smeri vektorja u. V primeru enojne funkcije se to zmanjša na dobro znano definicijo izpeljanke,

Na primer,

je povsod diferenciabilen in izpeljanka je enaka meji

ki je enaka

. Izvodi funkcij, kakršne

obstajajo povsod. So enake funkcijam

To je znano kot prvi derivat. Običajno je prvi odvod funkcije f označen s f ⁽¹⁾. Zdaj lahko s tem zapisom določimo izvode višjega reda.

je usmerjevalni odvod drugega reda in označuje n- ^ti odvod z f ⁽ⁿ⁾ za vsak n

definira n- ^ti odvod.

Kaj je diferencial?

Diferencial funkcije predstavlja spremembo funkcije glede na spremembe v neodvisni spremenljivki ali spremenljivkah. V običajnem zapis za dano funkcijo f ene same spremenljivke x, ki je skupna razlika tožečih 1 DF dati,

. To pomeni, da bo pri neskončno majhni spremembi x (tj. Dx) prišlo do spremembe af ⁽¹⁾ (x) dx v f.

Če uporabimo omejitve, lahko dobimo to definicijo, kot sledi. Predpostavimo, da je ∆ x sprememba x v poljubni točki x in ∆ f ustrezna sprememba funkcije f. Dokaže se lahko, da je ∆ f = f ⁽¹⁾ (x) ∆ x + ϵ, kjer je ϵ napaka. Zdaj je meja ∆ x → 0 ^{∆ f} / _{∆ x} = f ⁽¹⁾ (x) (z uporabo predhodno navedene definicije izpeljanke) in s tem ∆ x → 0 ^ϵ / _{∆ x} = 0. Zato je mogoče zaključimo, da je ∆ x → 0 ϵ = 0. Zdaj, če označujemo ∆ x → 0 ∆ f kot df in ∆ x → 0 ∆ x kot dx, je natančno pridobljena definicija diferenciala.

Na primer, razlika funkcije

je

V primeru funkcij dveh ali več spremenljivk je skupni diferencial funkcije definiran kot vsota diferencialov v smeri vsake neodvisne spremenljivke. Matematično lahko rečemo kot

Kakšna je razlika med izpeljanko in diferencialom?

• Izpeljanka se nanaša na hitrost spremembe funkcije, razlika pa na dejansko spremembo funkcije, ko je neodvisna spremenljivka spremenjena.

• Izpeljanka je dana z

diferencial pa z