Izpeljana v primerjavi z diferencialno
V diferencialnem računanju sta izpeljava in diferencial funkcije tesno povezana, vendar imata zelo različen pomen in sta uporabljena za predstavitev dveh pomembnih matematičnih predmetov, povezanih z diferenciabilnimi funkcijami.
Kaj je izpeljanka?
Izpeljanka funkcije meri hitrost, s katero se vrednost funkcije spreminja, ko se spremeni njen vhod. Pri funkcijah z več spremenljivkami je sprememba vrednosti funkcije odvisna od smeri spremembe vrednosti neodvisnih spremenljivk. Zato se v takih primerih izbere določena smer in funkcija se razlikuje v tej smeri. Ta odvod se imenuje usmerjeni odvod. Delni derivati so posebna vrsta usmerjenih derivatov.
Izpeljanko vektorsko vrednotene funkcije f lahko definiramo kot mejo,
kadar koli obstaja končno. Kot smo že omenili, nam to daje hitrost povečanja funkcije f vzdolž smeri vektorja u. V primeru enojne funkcije se to zmanjša na dobro znano definicijo izpeljanke,
Na primer,
je povsod diferenciabilen in izpeljanka je enaka meji
ki je enaka
. Izvodi funkcij, kakršne
obstajajo povsod. So enake funkcijam
To je znano kot prvi derivat. Običajno je prvi odvod funkcije f označen s f (1). Zdaj lahko s tem zapisom določimo izvode višjega reda.
je usmerjevalni odvod drugega reda in označuje n- ti odvod z f (n) za vsak n
definira n- ti odvod.
Kaj je diferencial?
Diferencial funkcije predstavlja spremembo funkcije glede na spremembe v neodvisni spremenljivki ali spremenljivkah. V običajnem zapis za dano funkcijo f ene same spremenljivke x, ki je skupna razlika tožečih 1 DF dati,
. To pomeni, da bo pri neskončno majhni spremembi x (tj. Dx) prišlo do spremembe af (1) (x) dx v f.
Če uporabimo omejitve, lahko dobimo to definicijo, kot sledi. Predpostavimo, da je ∆ x sprememba x v poljubni točki x in ∆ f ustrezna sprememba funkcije f. Dokaže se lahko, da je ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, kjer je ϵ napaka. Zdaj je meja ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (z uporabo predhodno navedene definicije izpeljanke) in s tem ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Zato je mogoče zaključimo, da je ∆ x → 0 ϵ = 0. Zdaj, če označujemo ∆ x → 0 ∆ f kot df in ∆ x → 0 ∆ x kot dx, je natančno pridobljena definicija diferenciala.
Na primer, razlika funkcije
je
V primeru funkcij dveh ali več spremenljivk je skupni diferencial funkcije definiran kot vsota diferencialov v smeri vsake neodvisne spremenljivke. Matematično lahko rečemo kot
Kakšna je razlika med izpeljanko in diferencialom?
• Izpeljanka se nanaša na hitrost spremembe funkcije, razlika pa na dejansko spremembo funkcije, ko je neodvisna spremenljivka spremenjena.
• Izpeljanka je dana z
diferencial pa z
