Linearne vs nelinearne diferencialne enačbe
Enačba, ki vsebuje vsaj en diferencialni koeficient ali izpeljanko neznane spremenljivke, je znana kot diferencialna enačba. Diferencialna enačba je lahko linearna ali nelinearna. Obseg tega članka je pojasniti, kaj je linearna diferencialna enačba, kaj nelinearna diferencialna enačba in kakšna je razlika med linearnimi in nelinearnimi diferencialnimi enačbami.
Od razvoja matematičnega računa v 18. stoletju, kot sta ga Newton in Leibnitz, je diferencialna enačba igrala pomembno vlogo v zgodbi o matematiki. Diferencialne enačbe so zelo pomembne v matematiki zaradi njihovega obsega uporabe. Diferencialne enačbe so v središču vsakega modela, ki ga razvijemo za razlago katerega koli scenarija ali dogodka na svetu, najsi gre za fiziko, inženirstvo, kemijo, statistiko, finančno analizo ali biologijo (seznam je neskončen). Dokler račun ni postal uveljavljena teorija, ustrezna matematična orodja niso bila na voljo za analizo zanimivih problemov v naravi.
Enačbe, ki izhajajo iz določene uporabe računa, so lahko zelo zapletene in včasih nerešljive. Vendar lahko nekatere rešimo, vendar so lahko podobne in zmedene. Zato so diferencialne enačbe za lažje prepoznavanje razvrščene po njihovem matematičnem vedenju. Linearno in nelinearno je ena takih kategorizacij. Pomembno je prepoznati razliko med linearnimi in nelinearnimi diferencialnimi enačbami.
Kaj je linearna diferencialna enačba?
Recimo, da je f: X → Y in f (x) = y diferencialna enačba brez nelinearnih členov neznane funkcije y in njenih izpeljank znana kot linearna diferencialna enačba.
Nalaga pogoj, da y ne more imeti višjih indeksnih izrazov, kot so y 2, y 3,… in večkratnikov izvedenih finančnih instrumentov, kot je
Prav tako ne more vsebovati nelinearnih izrazov, kot so Sin y, e y ^ -2 ali ln y. Ima obliko,
kjer sta y in g funkciji x. Enačba je diferencialna enačba reda n, ki je indeks izpeljanke najvišjega reda.
V linearni diferencialni enačbi je diferencialni operator linearni operator in rešitve tvorijo vektorski prostor. Zaradi linearne narave nabora rešitev je linearna kombinacija rešitev tudi rešitev diferencialne enačbe. To pomeni, da če sta y 1 in y 2 rešitvi diferencialne enačbe, potem je rešitev tudi C 1 y 1 + C 2 y 2.
Linearnost enačbe je le en parameter razvrstitve in jo je mogoče nadalje razvrstiti v homogene ali nehomogene ter običajne ali delne diferencialne enačbe. Če je funkcija g = 0, je enačba linearna homogena diferencialna enačba. Če je f funkcija dveh ali več neodvisnih spremenljivk (f: X, T → Y) in f (x, t) = y, potem je enačba linearna delna diferencialna enačba.
Rešitvena metoda za diferencialno enačbo je odvisna od vrste in koeficientov diferencialne enačbe. Najlažji primer je, ko so koeficienti konstantni. Klasičen primer tega primera je Newtonov drugi zakon gibanja in njegove različne uporabe. Newtonov drugi zakon daje linearno diferencialno enačbo drugega reda s konstantnimi koeficienti.
Kaj je nelinearna diferencialna enačba?
Enačbe, ki vsebujejo nelinearne izraze, so znane kot nelinearne diferencialne enačbe.
Vse zgoraj so nelinearne diferencialne enačbe. Nelinearne diferencialne enačbe je težko rešiti, zato je potrebna natančna študija, da dobimo pravilno rešitev. V primeru delnih diferencialnih enačb večina enačb nima splošne rešitve. Zato je treba vsako enačbo obravnavati neodvisno.
Navier-Stokesova enačba in Eulerjeva enačba v dinamiki tekočin, Einsteinove enačbe splošne relativnosti so znane nelinearne delne diferencialne enačbe. Včasih lahko uporaba Lagrangeove enačbe na spremenljiv sistem povzroči sistem nelinearnih delnih diferencialnih enačb.
Kakšna je razlika med linearnimi in nelinearnimi diferencialnimi enačbami?
• Diferencialna enačba, ki ima le linearne izraze neznane ali odvisne spremenljivke in njenih izpeljank, je znana kot linearna diferencialna enačba. Nima izraza z odvisno spremenljivko indeksa, višjo od 1, in ne vsebuje nobenega večkratnika svojih izpeljank. Ne more imeti nelinearnih funkcij, kot so trigonometrične funkcije, eksponentna funkcija in logaritemske funkcije glede na odvisno spremenljivko. Vsaka diferencialna enačba, ki vsebuje zgoraj omenjene izraze, je nelinearna diferencialna enačba.
• Rešitve linearnih diferencialnih enačb ustvarjajo vektorski prostor, diferencialni operater pa je tudi linearni operator v vektorskem prostoru.
• Rešitve linearnih diferencialnih enačb so razmeroma enostavnejše in obstajajo splošne rešitve. Za nelinearne enačbe v večini primerov splošna rešitev ne obstaja, rešitev pa je lahko specifična. Zaradi tega je rešitev veliko težja od linearnih enačb.
