Diskretna funkcija proti neprekinjeni funkciji
Funkcije so eden najpomembnejših razredov matematičnih predmetov, ki se pogosto uporabljajo na skoraj vseh podpoljih matematike. Ker njihova imena kažejo, da sta ločeni funkciji in neprekinjeni funkciji dve posebni vrsti funkcij.
Funkcija je razmerje med dvema nizoma, definirano tako, da je za vsak element v prvem nizu vrednost, ki mu ustreza v drugem nizu, unikatna. Naj bo f funkcija, definirana iz množice A v množico B. Potem za vsak x ϵ A simbol f (x) označuje edinstveno vrednost v nizu B, ki ustreza x. Imenuje se slika x pod f. Zato je razmerje f od A do B funkcija, če in samo, če za, vsak xϵ A in y ϵ A; če je x = y, je f (x) = f (y). Niz A se imenuje domena funkcije f in je niz, v katerem je funkcija definirana.
Na primer, upoštevajte razmerje f od R do R, ki ga definira f (x) = x + 2 za vsak xϵ A. To je funkcija, katere domena je R, saj za vsako realno število x in y x = y pomeni f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Toda razmerje g od N v N, opredeljeno z g (x) = a, kjer je "a" glavni faktor x, ni funkcija, kot je g (6) = 3, kot tudi g (6) = 2.
Kaj je diskretna funkcija?
Diskretna funkcija je funkcija, katere domena je največ šteti. To preprosto pomeni, da je mogoče sestaviti seznam, ki vključuje vse elemente domene.
Vsak končni niz je kvečjemu štetje. Množica naravnih števil in množica racionalnih števil sta primera za največ števnih neskončnih množic. Množice realnih števil in množice iracionalnih števil niso kvečjemu štetje. Oba kompleta je nešteto. To pomeni, da je nemogoče sestaviti seznam, ki vključuje vse elemente teh sklopov.
Ena najpogostejših diskretnih funkcij je faktorcijska funkcija. f: NU {0} → N rekurzivno definirano s f (n) = nf (n-1) za vsakega n ≥ 1 in f (0) = 1 se imenuje faktorjska funkcija. Upoštevajte, da je njegova domena NU {0} največ štetna.
Kaj je neprekinjena funkcija?
Naj bo f taka funkcija, da je za vsak k v domeni f, f (x) → f (k) kot x → k. Potem je f kontinuirana funkcija. To pomeni, da je mogoče f (x) poljubno približati f (k), tako da naredimo x dovolj blizu k za vsak k v domeni f.
Razmislimo o funkciji f (x) = x + 2 na R. Vidimo, da je kot x → k, x + 2 → k + 2 to f (x) → f (k). Zato je f kontinuirana funkcija. Zdaj upoštevajte g na pozitivnih realnih številih g (x) = 1, če je x> 0, in g (x) = 0, če je x = 0. Ta funkcija potem ni neprekinjena funkcija, saj meja g (x) ne obstaja (in zato ni enako g (0)) pri x → 0.
Kakšna je razlika med diskretnimi in neprekinjenimi funkcijami?
• Diskretna funkcija je funkcija, katere domena je kvečjemu štetna, ni pa nujno, da gre za neprekinjene funkcije.
• Vse neprekinjene funkcije ƒ imajo lastnost, da je ƒ (x) → ƒ (k) kot x → k za vsak x in za vsak k v domeni ƒ, pri nekaterih diskretnih funkcijah pa ni tako.
